Baricentro, Circuncentro y Ortocentro

Dado que el triángulo J(-2,3), K(6,5) y L(4,7) encuentra:

● El baricentro

● El Ortocentro

● El baricentro

Baricentro:

JK= (X1+X2 / 2 , Y1+Y2 / 2) = (-2+6/2 , 3+5/2 ) = (4/2 , 8/2) = (2,4)

KL= (X1+X2 / 2 , Y1+Y2 / 2) = (6+4/2 , 5+7/2) = (10/2 , 12/2) = (5,6)

JL= (X1+X2 / 2 , Y1+Y2 / 2) = (-2+4 / 2 , 3+7 / 2) = (2/2 , 10/2) = (1,5)

Pendientes:

JK= Y2 - Y1 / X2 - X1 = 5-3 / 6 (-2) = 2/8 = 1/4 Inversa= -4

KL= Y2 - Y1 / X2 - X1 = 7-5 / 4-6 = 2/-2 Inversa= 1

JL= Y2 - Y1 / X2 - X1 = 7-3 / 4-(-2) = 4/6 Inversa= -3/2

JK

Y-Y1 = m(X-X1)

Y-(4) = -4(X-(-2))

Y-4 = -4X+8

4X-Y-12 = 0

KL

Y-Y1= m (X-X1)

Y-6 = 1(X-(5))

Y-6 = X-5

-X+Y-1= X-Y+1 =0

JL

Y-Y1= m (X-X1)

Y-5 = -3/2 (X-(1))

Y-5 = -3/2 (X-1)

-2(Y-5)= -3(X-1)

-2Y+10 = -3X+3

-3X-2Y+13 = 3X+2Y-13=0

Decidimos despejar el segmento KL donde nos da:

X= Y-1

Y= X+1

Y sustituimos en la ecuación del segmento JK Donde nos resulto:

Sustituyendo” Y”

4X-Y-12= 0

4X+(X+1)-12

4X+X+1-12 = 5X-11

X= 11/5

Sustituyendo “X”

4(Y-1)+Y-12 = 0

4Y-4+Y-12 = 5Y-16

Y= 16/5

Teniendo como resultado las coordenadas:

(11/5 , 16/5)

Ortocentro

Utilizando nuevamente las "recíprocas" de cada segmento..

ECUACIONES

PARA EL PUNTO “L”: y-7=-4(x-4) y-7=-4x+16 4x+y-23=0

PARA EL PUNTO “K”: (2)y-5=-3(x-6) 2y-10=-3x+18 3x+2y-28=0

PARA EL PUNTO “J”: y-3=1(x-(-2)) y-3=x+2 -x+y-5=0 x-y+5=0

COORDENADAS PARA EL ORTOCENTRO

--DADAS LAS SIGUIENTES ECUACIONES SE RESOLVERAN MEDIANTE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE IGUALACIÓN, PARA OBTENER LAS COORDENADAS:

4x+y-23=0 3x+2y-28=0

1.- x=-y+23/4 2.- x=-2y+28/3

Igualamos

-y+23/4=-2y+28/3 -3y+69=-8y+112 -3y+8y=112+69 5y=43 y=43/5

Sustituimos “y” en ecuación 1

4x+(43/5)-23=0 4x+43/5-23=0 4x=-(43/5)+23 x=(72/5)/4 x=18/5

COORDENADAS RESULTANTES

X=18/5 y=43/5

Baricentro:

Para obtener este solamente se tiene que encontrar el punto medio de cada segmento y unirlo con el vértice opuesto:

JK= (X1+X2 / 2 , Y1+Y2 / 2) = (-2+6/2 , 3+5/2 ) = (4/2 , 8/2) = (2,4)

KL= (X1+X2 / 2 , Y1+Y2 / 2) = (6+4/2 , 5+7/2) = (10/2 , 12/2) = (5,6)

JL= (X1+X2 / 2 , Y1+Y2 / 2) = (-2+4 / 2 , 3+7 / 2) = (2/2 , 10/2) = (1,5)

cada segmento se une como se mostrara a continuación:

JK : Punto L

LK: Punto J

JL: Punto K

●๋•·

En el esquema se muestra la clasificacion basica de los tipos de funciones, mas adelante un desglose de los basicos y vistos ya en clase

Tipos de funciones

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

2

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen. Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio.

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Relaciones & Funciones

PAR ORDENADO (PO)

DEFINICIÓN DE PO

Se llama Par Ordenado o dupla cuyo símbolo es (x y) al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dos

conjuntos :

1.- el conjunto {x y} que es un par simple

2.- el conjunto {x} de un único elemento

Def: (x y) := { {x y} {x} }

(x y) : Par Ordenado (PO)

x : Primer elemento del PO (Primera componente del PO)

y : Segundo elemento del PO (Segunda componente del PO)

Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x y} ∈ (x y)

Obs 2: La igualdad de PO es la de Conjuntos

Obs 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del PO, porque los números

todavía no están definidos. Justamente el concepto de número se definen a partir del PO.

RELACIÓN R

Se llama Relación en AxB a todo Subconjunto no vacío del Producto Cartesiano AxB

Def: R ∈ Relación AxB := R ⊂ AxB , R ≠ ∅

R(AxB) := S(AxB) := { (x y) : (x y) ∈ R }

R : Relación AxB := R ⊂ AxB , R ≠ ∅

S(AxB) : Gráfica de R(AxB)

A: Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano

B: Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto del Producto Cartesiano

Se define además algunos elementos destacados de la Relación R en AxB

Def: D(R) := { x: x∈A ∧ ∃ (x y)∈R }

I(R) := { y: y∈B ∧ ∃ (x y)∈R }

D(R) : Dominio de R(AxB)

I(R) : Imagen de R(AxB)}

*La imagen de la entrada a el blog es lo que representa este tema de : Relación.

Donde se ejemplifica el sentido de conjunto de ambas columnas [dominio & contradominio]